[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))

[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))

tashj @ 2006-07-19 22:12

发信人: goodhorsezxj (Eyes of Moon), 信区: ACM
标题: （zz)[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))
发信站: 天大求实BBS (Tue Jun 13 17:19:13 2006), 本站(bbs.tju.edu.cn)

发信人: kelefe (混沌中立), 信区: ACMICPC
标题: 【合集】[转载] 约瑟夫问题的数学方法(O(n))
发信站: 逸仙时空 Yat-sen Channel (Tue Jun 6 16:40:57 2006), 站内信件

──── yanjunwei (Sat Jun 3 21:22:00 2006) ───────────

【以下文字转载自 yanjunwei 的信箱】
【原文由 yanjunwei 所发表】

约瑟夫问题的数学方法
[ 2006-5-5 14:26:00 | By: lower ]

看到这个想起了去年的省赛上，我们就是被一个约瑟夫问题的变种搞的几乎发狂了，一直是WA，出了赛场才发现并
不是真正的约瑟夫问题。

对于约瑟夫问题，今天看到了一篇好帖子，是用数学方法处理的，感觉还不错的

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂
度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号
。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开
始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根
据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'
=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的
情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，
我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

＃include <stdio.h>

main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题
了。