灵机一动-趣味问题种种

主题：灵机一动-趣味问题种种

趣　味　问　题　种　种
·万精油·

　　趣味问题种类很多，深浅不一。即使同一个题目，对不同的人也
会引起不同的反应。这是因为不同的人有不同的知识背景与知识结构。
对一些人来说很难的题目对另一些人来说却很简单。大多数人认为有
兴趣的题目对一些见过该题的人来说却没有什么意思。很难找到能让
所有的人都感兴趣的题目。我们这里的读者很多，在这里出题就面临
着这样的问题。上期题目出来以后，做的人很多，做对做错的人都不
少。可见题目还是受欢迎的。有些人觉得题目简单，希望我们出一些
难一点的题目，这些都在预料之中。我们这期就来专门谈谈趣味问题
的种类问题。

　　最简单的趣味问题是那些可以用线性代数、代数方程来解决的问
题。比如有人叫你心里想一个数，再做一些指定的加减乘除四则运算，
然后猜出结果之类的。这类题可以用来考小学生，因为他们没有学过
线性代数，解起来很有趣，也有一定的启发作用。

　　对高中生来说上面的那些问题就太简单了。对付高中生要用微积
分或复变函数。比如有这么一道题：一个矩形被分为许多大小不等的
小矩形（就象一张建筑图），如果已知每个小矩形至少有一边边长为
整数，则可推出原来的大矩形也至少有一边边长为整数。这个题如果
用高等数学来做也就两行字。如果用普通语言来解，两页纸恐怕也不
够。但不管多少页，如果能用普通语言说清楚也是很有趣的事。（注：
这道题只是作为一个例子在这里提出，不是本期题目）。

　　对付学过高等数学的大学生，可以有更高一级的题。背景知识或
许是泛函分析或微分拓朴之类的数学专业课程。比如本期的题目（见
后），这道题如果用泛函分析来做，也就是一行字。如果用普通语言
来做大约要写一页。

　　这些题的趣味性就表现在这里。它包含很深的数学理论，却可以
用普通语言来解释清楚。一个题目如果必须要用高深的数学语言来解，
那它只能算是一道数学课的作业题，不能算是趣味问题。所谓趣味问
题，我们在开场白中已经讲过，就是需要动脑筋但不一定必须用高深
的知识来解决的题目。

　　当然，对有些人来说很高深的知识，对另一些人来说却算基本常
识。我认识的一位数学系教授就一贯把研究生以下的数学称为幼儿园
数学。他的口头习惯用语是“ｔｈｉｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｏｎｅ　
ｗｉｔｈ　ｋｉｎｄｅｒｇａｒｔｅｎ　ａｒｉｔｈｅｍｔｉｃｓ”。
十多年前我到中科院数学所听的第一个讲演题目就是“魔方中的数学
问题”。演讲者自然是把群论、不动点之类的知识当作基本常识的了。
著名天才物理学家朗道小时候是一个神童，他的一句很著名的话是，
“记不得不懂微积分的时候了”。

　　还有一类题是几乎什么知识都不要，但却相当费脑筋，有点象围
棋的死活题。当然，这类题也有难易之分。难的题可以难你几十年，
比如著名的十五个学生分组问题。容易点的也可以让你费上几小时脑
筋。比如大家都知道的乒乓球中找次品的问题（以后会提到）。这样
的题目动脑筋却不需要什么知识，很受欢迎。

　　现在国内流行一种“脑筋急转弯”的题目，我认为从趣味问题题
的角度来说是档次最低的。这些题目往往从字面意义上做文章，根本
没有逻辑推理的成份。我见过的一道题是，问：念完大学要多少时间？
答：一秒。这些东西做相声材料还可以，作为趣味问题就有点不够劲。

　　“萝卜青菜，各有所爱”，各种级别的题目都有人欢迎。但人多
以后就很难掌握题目的程度。所以我们今后出题目时尽量做到深浅交
替，使大多数人都能找到自己喜欢的题目。

【本期题目】　墙上贴一张中国地图，如果有人在这地图上再贴一张
小的中国地图，歪歪斜斜也没有关系，只要小地图完全落在大地图内，
则可证明大小地图上必然有一点重合。也就是说一个图钉从这一点按
下去，大小地图上都是同一点（比如说这一点在两张地图上都是四川
成都）。希望不要用高深的数学语言，而是用一般的大众语言来解释
这个问题。
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主题：灵机一动--优美的数学定理
优　美　的　数　学　定　理
·万精油·

　　数学定理一般都被认为是枯燥无味的，哪里有什么美可言。但数
学家们有他们自己的审美标准，能从大家认为干瘪瘪的定理中发现美。
几年前读过一篇数学小品文，文中讨论什么样的数学定理可以称之为
美。有些数学家认为简单就是美，有些数学家认为清楚明确就是美，
有些数学家认为深刻才是美。文中列出二十四个被当今数学家认为最
简明，最优美的数学定理让许多大数学家打分。这些定理的确都很简
明，定理叙述最多两行字。得分最高的是众所周知的复数等式：

ｉπ
　　　　 ｅ　　＋　１　＝　０

　　称其为美的原因是，小小一个等式，包含了数学（或大自然）中
最重要的五个常数：０，１，π，ｅ，ｉ，真是绝了。这个定理我中
学就知道了，但却从来没有发现其中之美。一方面大约是因为数学修
养还不够，另一方面是因为从来没有从美的方面来看数学定理。那一
篇文章中提到的其它二十三个优美的数学定理许多都与数论有关，不
太适合放在这里。所以，我们只选两则比较大众化的供大家欣赏。正
好上期的题目比较难，这期的题目相对容易一些。

【本周问题之一】

　　任何一个晚会（Ｐａｔｒｙ）中，必有两人在晚会中的朋友数相
同（注一）。

【本周问题之二】

　　如果给平面上每一点都染一个颜色，而且要求任何相距一个单位
距离的两点都不能有相同颜色，那么，必须要有四种以上的颜色（注
二）。

【注一】　朋友必是相互的。Ａ是Ｂ的朋友，Ｂ必是Ａ的朋友。另外，
晚会至少两人以上。

【注二】　这本来可以称之为四色定理，但四色定理这个名字已经被
另一个更重要的定理占掉了，所以我们不妨称它为小四色定理。

主题：灵机一动--计算机与棋

计　算　机　与　棋
·万精油·

　　上周末的一个大新闻是：ＩＢＭ的Ｄｅｅｐ　Ｂｌｕｅ战胜了人
类国际象棋最强手Ｋａｓｐａｒｏｖ，舆论界为此一片哗然。一些人
惊呼：人类完蛋了。先是在火星上发现生命，然后是克隆出羊（接下
来就是人），现在又是机器战胜人，人类再也没有什么独特之处了。
我说这些人太过于悲观了。机器与人还有十万八千里的差距。不要说
机器现在还写不出交响曲，写不出诗，即使是在智力游戏的领域里，
机器也还没有完全战胜人类。象ＨＥＸ，围棋之类的棋类还仍然在人
类的控制之下。（ＨＥＸ是一个很有趣味的游戏，以后有机会我们会
专门讲）。围棋是我们的国宝，我们不妨来看一看它在与计算机程序
的对抗中处在什么地位。

　　与国际象棋程序相比，当今最强的围棋程序仍处于很原始的状态。
每年十一月都有一次计算机围棋程序国际大赛。每年大赛的最后一个
项目是由冠军程序与高段职业棋手对弈。去年的计算机程序冠军是中
山大学陈志星教授所写的Ｈａｎｄｔａｌｋ（手谈）。“手谈”在与
职业棋手对弈时，被授十一子仍然是连输三盘，没能破掉零的纪录。
应昌期为此而设的奖金也只好继续呆在银行生利息。
　　被让十一子也就是通常人们开玩笑时说的被让一把（用手抓一把
棋子往棋盘上洒），还没开始下，棋盘上就已经是黑压压的一片。在
这种情况下仍然不能取胜，可见其水平之弱。要想能象国际象棋程序
那样战胜职业棋手目前还只能算是天方夜谭似的神话。

　　除了一些开局与终盘的数据库查找以外，Ｄｅｅｐ　Ｂｌｕｅ所
采用的主要方法是地毯似的全盘搜索。围棋程序不能采用这个办法，
因为围棋的选择空间太大，而且没有象国际象棋一样的简易的好坏判
别标准。把Ｄｅｅｐ　Ｂｌｕｅ所用的计算机速度再提高一千倍也不
行。为了缩小搜索空间，有人采取简化题目的办法来研究此问题。对
于６Ｘ６以下的棋盘，好象已经有了结果。最近又出了一本书，用
“数学游戏”理论（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｇａｍｅｓ）研究
围棋收官问题，已经有了很好的结果，能够解决专业九段也感到棘手
的问题。书名叫《数学围棋》（Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｇｏ），
有兴趣的网友可去借来看一看（这本书很难）。

　　本期的题目选择一个与象棋有关的。不是什么难题，只是很费时
间，坐地铁或公共汽车时可以用来打发时间。搜索是计算机的强项，
好坏判别是人的强项。让计算机做好坏判别很难。同样道理，让人做
一些在计算机看来很简单的搜索问题也不是很容易。本期的题目就是
其中一例。

【本期问题】
≡谝桓龉氏笃迤迮躺献钌傩枰父龌屎缶途鸵哉肿∷械母褡樱?
这些皇后怎么放？

【注】　一个皇后可以罩住其所在的横竖及对角线上的所有点。如果
觉得此题太麻烦，可以考虑小一点的棋盘，比如６Ｘ６的棋盘上最少
需要几个皇后就可以罩住所有的点。

主题：灵机一动--帽子的颜色

帽　子　的　颜　色
·万精油·

　　几年前ＡＣＴ有个叫川花椒的给大家出了个趣味问题，引起了很
多有意思的讨论。题目本身很有趣，解题的方法也很有代表性，我们
就用它来作这期的讨论题目。

　　川花椒的题目说：有个老头有六顶帽子，三红，两黄，一绿。四
个儿子每人一顶依年龄站成一条线，哥哥可以看见弟弟的帽子，弟弟
看不见哥哥的帽子。当然，每人都看不见自己的帽子。如果四兄弟都
很聪明，那么不管老头怎样安排这四顶帽子，四人中必有一人能推出
自己帽子的颜色。这里我对原来的题目做了一些小改动。川花椒原来
的题目说当哥哥们不能根据他们所见而推出自己帽子的颜色时，老四
就可以推出自己戴的是红帽子。但我认为我这种提法本质一样，但更
简明有趣。

　　许多人考虑了红黄绿的各种组合来证明这个结论。虽然最后成功
了，但过程烦琐无比。事实上我们完全不用考虑各种组合。老大如果
看不见红帽子，则可推出自己是红帽子，因为不是红色的帽子只有三
顶。所以如果老大推不出自己帽子的颜色，则必然是因为他看见了红
帽子。老二看不见红帽子则可推出自己的是红帽子，因为老大看见了
红帽子。所以如果老二也推不出自己帽子的颜色，则必然是因为他也
看见了红帽子。同样道理，老三如果看不见红帽子，则可推出自己是
红帽子。如果老三也推不出自己帽子的颜色，则老四可以肯定自己的
帽子是红色。简单说起来这个问题的解就是一句话：哥哥不能推出自
己帽子的颜色，说明弟弟中至少有一顶红帽子，于是老四得出他自己
头上一定是红帽子。

　　我们注意到在上面的推论中，并没有用到黄绿帽子的具体分布。
而且哥哥的数目也没有什么作用。于是我们可以把原来的题目推广为
如下题目

推广题：一个老头有Ｎ个儿子，2 * ( N - 1 ) 顶帽子，其中N - 1
顶红帽子，N - 1 顶杂色（即非红色）帽子。每人一顶依次站成一
条线，哥哥可以看见弟弟的帽子。那么，无论老头如何安排帽子，兄
弟中必有一人能推出自己帽子的颜色。

　　搞数学的人的一个比较主要的研究方向就是把别人的结果做抽象
推广。就这个题目来说，题目推广了，证明起来反倒容易了。因为大
家立即想到用规纳法，而且也不会被有多少黄、多少绿之类的问题所
困惑。

　　通常情况下，推广了的题目比原来的题目要难很多。但也有例外
的情况，上面的题目就是一例。平面射影几何里有些定理放到三维空
间中反而变得容易了。关健是要抓住问题的实质，把不相关的东西去
掉，把问题抽象出来。比如解线性方程时，我们发现所有的过程都是
对系数施行的，与那些Ｘ没有关系，于是我们把问题抽象出来，只研
究系数矩阵。这就是我们这期想要讲的主要思想。遇到问题时，先把
不相关的东西去掉。“抽象”这个玩意并不象一般人想像的那样使问
题变得更难，而是使问题变得更简单。否则，我们就会“只见树木，
不见森林”。

　　川花椒的原题刚出来时出错了，说是有六顶帽子，三红，两黄，
一绿，六个儿子。当时就有人指出其错误。说是老大只要不是弱智，
问题就太简单。在川花椒没有贴出更正以前我在想，光指出错误还不
够，怎样才能把原题修改一下使其变得比较有意思呢？于是我想到了
另一个版本，也就是本期的题目。

【本期题目】

　　有个老头有六个儿子，六顶帽子。帽子为红，黄，绿三种颜色。
其中有种颜色有三顶，有种颜色有两顶，还有一种颜色只有一顶。六
个儿子每人一顶依次站成一条线。哥哥可以看见所有弟弟的帽子，而
弟弟不能看见哥哥的帽子。那么当前面的哥哥们不能根据他们所见而
推出自己帽子的颜色时，老四可以推出自己帽子的颜色。或者说无论
老头怎样安排帽子，兄弟中必有一人能推出自己帽子的颜色。

主题：灵机一动-学数数

学　数　数
·万精油·

　　每个人从呀呀学语就开始学数数。开始是一二三四五，然后是个
十百千万。记得小时候常常与别的小孩比谁能说出更大的数，知道
“亿”这个单位就以为战无不胜了。后来有别的小孩不知从哪里听来
“兆”，“京”这些单位，一下把我们都给镇了。这些单位在我们的
小脑瓜里简直是不可思议的大。长大后才知道大人也是不怎么用这些
单位的。据说在非洲的一些部落里，他们的语言中没有三以上的数。
只有一，二，三。三以上的就叫“许多”。如此看来，我们的祖先能
有“兆”，“京”这样的概念，真是很有点想像力的。

　　除了在讨论国家财政赤字以外，大的单位在生活中并不常用。生
活中用到的都是个十百千这些小一点的数。因为学数学的关系，我每
学一种语言，总是最先学数数。五，六种语言比较下来，我发现中文
的数字系统是最简单的，标准的十进制。从一到十，然后有规律的往
上数。十一，十二，二十一，二十二，三十一，三十二。英文要麻烦
一点。要数到十二才稍微开始有点规律，到二十才真正进入正规。法
文就难多了，一百以下都不正规。九十九的念法从字面上来说相当于
四个二十和十和九。如果法国人也像美国人这样在广告中常常用九十
九的话，连续念几个九十九块九毛九可真是不容易。

　　在物理、天文等科研领域中常常用到很大的数，对这些大数人们
一般都用小数乘以十的方次来表示。在数学领域里，数字上的语言有
点像前面提到的非洲部落，１，２，３，Ｎ。所有的有限数用一个Ｎ
来表示就够了。这似乎有点不够数学家玩，于是数学家们开始研究无
限数集。无限数集又分可数与不可数。所谓可数集就是可以在该集合
与自然数之间建立一个一一对应，或者说存在一种数法，使得集合中
任何一个元素都可以被数到。比如所有有理数就是可数集（没有见过
有理数的数法的读者可以想一想怎样数所有的有理数，或者说怎样给
所有的有理数排一个顺序）。不满足这种条件的无限集合就是不可数
集。比如所有的实数。不可数的无限数集里还要比大小，阿来富１，
阿来富２，等等。这要比“京”，“兆”之类的要玄得多了，也超出
了这个专栏的范围，所以我们就此跳过。

　　从一二三，到Ｎ，再到无限，那是数学研究中的事。在现实生活
中我们还是要回到个十百千，加减乘除这些基本的东西上来。据说在
高斯五岁的时候，有人让他算从一到一百的和。他脱口而出：五Ｏ五
Ｏ。原来他把一与九十九，二与九十八等等依次配对，得到五十个一
百，再加上剩下的五十，所以得出五Ｏ五Ｏ。小小年级就能想到这样
的计巧，后来成为大数学家也是理所当然的事。由于计算机与计算器
的普及，我们动手数数或计算的机会越来越少了。不过像高斯所用的
这些小计巧还是很有用场的。不同的场合需要不同的计巧。有些是头
脑里的计巧，有些是手上的计巧。比如围棋高手数空的时候就要比一
般人快很多，因为他们知道如何利用各种形状。银行里的人数钱就要
比一般人快很多。诸如此类。

　　这个专栏刚办第二期的时候，有位读者大约觉得我们这里的题目
太简单，给我寄来了好多道题，说是可以放到这个专栏里。他寄来的
题有些也很简单，但有两道题比较有意思。其中一道题就是关于数数
的。我们就把它作为本期的题目。这道题需要数数的计巧，也需要推
理，最需要的是耐心。

【本期题目】
　　一个小孩在纸上写数字，从１开始，１，２，３，４，……，一
个不拉的写下去。当他写到１９９９８１这个数时，他发现他正好写
了１９９９８１个“１”字（这里“１”是数字１。写１１１时，就
要算３个１）。问：请找出满足这种条件的最大数。也就是说，请找
出一个数Ｎ，如果我们从１一直写到Ｎ的话，我们将正好写了Ｎ个数
字“１”。而且要说明比Ｎ大的所有数中再也没有满足这个条件的。

主题：灵机一动--生活中的概率

生　活　中　的　概　率
·万精油·

　　据说有个人很怕坐飞机。说是飞机上有恐怖分子放。他说他
问过专家，每架飞机上有的可能性是百万分之一。百万分之一虽
然很小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从来不坐飞机。可
是有一天有人在机场看见他，感到很奇怪。就问他，你不是说飞机上
有吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一棵的可能性是百
万分之一，但每架飞机上同时有两棵的可能性只有百万的平方分
之一，也就是说只有万亿分之一。这已经小到可以忽略不计了。朋友
说这数字没错，但两棵与你坐不坐飞机有什么关系？他很得意的
说：当然有关系啦。不是说同时有两棵的可能性很小吗，我现在
自带一棵。如果飞机上另外再有一棵的话，这架飞机上就同时有
两棵。而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飞
机。

　　相信大家都学过一些概率统计，而且都会觉得这个人的逻辑很可
笑。但如果要说明这个逻辑可笑在哪里，毛病出在什么地方，没有一
定程度的概率统计知识还不一定说得清楚。概率统计大概要算是应用
最广的一门学科了。在学校不管是文科，理科还是经济，医学都要学
它。不过，它当初的产生可是与这些应用科学没有任何关系，纯粹是
一些人为了解决中遇到的问题而产生出来的。我当初读书的时候，
所有的学科都要带上一顶红帽子，都要有革命意义。什么几何的产生
是为了劳动人民测量田地，三角的产生是为了劳动人民看月亮星星之
类的。只有概率统计没有办法与劳动人民沾边。按照革命理论，劳动
人民应该是从不的。按成份划分，概率统计的出身是很差的。概
率论虽然产生于赌场，但赌场里的人并不需要懂概率。他们很多人都
是凭经验，凭感觉。据说概率论的老祖之一卡当曾经到赌场去找一个
老赌徒，说是掷骰子的时候，如果给他两种情况，一种是连续两次掷
出六点，另一种是三次掷出的数的总和小于或等于五。问他愿意选哪
一种？老赌徒想都没想就说愿意选后面这一种。仔细用概率算一下，
你会发现这两种情况的概率差别还不到百分之一的一半。可见这些人
的感觉相当准确。

　　当然，真正的赌场并不完全依赖于概率组合。否则，在家里算好
概率再去赌场赌岂不是有赢无输。说起来还真有人在家里研究好赌法
去赌场赌的。有一种叫做赌注加倍法的赌法就是由统计学家发明的。
从理论上来讲，用这种方法到赌场去玩二十一点必赢无疑。这种方法
从道理上来说很简单，只要你有足够的资本，那就必赢无输，而且想
赢多少就赢多少。比如说你第一盘下注一百元（也可以是一千元或一
万元，首注多少与这种赌法无关）。如果这一盘赢了，则把赢的一百
元装腰包，再继续下注一百元。如果输了，第二盘下注两百元。如果
这次赢了，那么扣除上盘输掉的一百元，还赢利一百元。把赢的这一
百元装腰包，又从下注一百元开始。如果输了，下一盘就下注四百元，
如此下去……简单说起来就是，如果某一盘输了，则下一盘赌注加倍。
如果赢了，这一回合就算结束，又从下注一百元开始。用这种玩法，
只要你不是一直输（当Ｎ很大时，连续输Ｎ盘的可能性几乎是零），
那么每一个回合结束后，你都会赢利一百元。这种玩法是可以从统计
学上证明的必胜玩法。你或许会问，这种玩法如果真有效，那大家都
这样玩，赌场岂不是只好关门了。这一点你可以放心，办赌场的人自
然也知道这种玩法对他们是致命的，他们当然不会坐以待毙。所以他
们有专门规定来控制这种玩法。其中一条规定是规定赌注的上限。也
就是说每一盘的赌注不可以超过这个上限。这样一来，赌注加倍法就
不灵了。因为当你连输许多盘准备加倍赌注的时候，你的赌注或许已
经超过该上限，你不能再按加倍赌法玩下去，于是前面输掉的再也不
能按加倍法捞回来。有了这种规定，赌场就可以不用担心所谓赌注加
倍法。在上限以内，这种方法你还是可以用的，但是不能保证绝对赢。
再说，即使在上限以内，要玩这种加倍法还是需要一些勇气的。如果
你从一百元开始，连输十盘后，赌注就已经涨到十万元。连输十盘的
可能性很小，但还没有小到不太可能发生。这时候要下这十万元的一
注还是需要一点魄力的。

　　许多问题并不是单纯的组合问题，还要考虑一些其它的因素。比
如打桥牌时决定是否要飞张的时候，并不能只考虑大牌分布的概率因
素，还要考虑叫牌过程等等。这就是所谓条件概率。现实生活中的问
题就更复杂了，许多时候它所依赖的条件并不能准确的用数学表达出
来，而只能是凭经验，凭感觉或别的计算。比如天上的云的情况与明
天是否下雨，这两者之间有很强的统计规律，甚至有很多农谚因此而
产生。但真正要预报天气却不能靠这些农谚，还得要做大量的非概率
运算。

　　现实生活中完全纯概率组合的问题也是有的，比如说买彩票，也
就是通常说的“乐透奖”。有一种通行的“乐透奖”是从一到四十四
中选六个数，如果全部选对则可中大奖。这是一个纯组合的问题，没
有任何别的因素。中奖的概率很容易算出来，大约七百万分之一。这
个概率小得可怜，据说下雨天上街被雷击的概率也比这个数大。懂概
率的人大约都不会去上这个当。偶尔买一次图新鲜好玩没有关系，常
年累月地买就有点愚蠢了。不过，愚蠢的人还真不少，否则这种奖也
存在不下去了。我以前不相信，最近看了一篇报导才知道真有不少人
每周固定买彩票的。我们这里附近有一个镇有六万人口，每年的“乐
透奖”开销竟然有二千七百万美元之多。也就是说平均每人每年花四
百多块买彩票，差不多每周花十块钱，简直有点不可思议。这些钱有
相当一部分是要被政府收走的。所以我常对朋友讲，“乐透奖”是政
府收的另外一种税，其名字叫“愚人税”。聪明人是不用交这种税的。

　　讲了半天与概率统计有关的东西，本期的题目当然也要与它有一
点关系。不交“愚人税”或许还不能算聪明人，多做一些题目说不定
就聪明起来。
【本期题目】
　　Ａ，Ｂ，Ｃ三人进行决斗。Ａ的射击命中率是三分之一。也就是
说如果他努力的话，他平均每三枪可以击中一次。Ｂ的射击命中率是
二分之一。Ｃ的射击命中率是一（也就是百分之百）。由于Ａ的命中
率最低，为公平起见，他们让Ａ先射，然后是Ｂ（如果他还活着的话）
，然后是Ｃ（如果他还活着的话）。再然后是Ａ，Ｂ，Ｃ，如此循环
下去，直到只有一人活着。每次射击时只能开一枪，但可以选择朝哪
里开。我们的问题是：如果ＡＢＣ三人都按照最佳选择行事，也就是
说尽可能的提高自己地存活率，谁活下来的可能性最大？准确一点，
每个人活下来的概率是多少？

主题：灵机一动--于无声处听惊雷
于　无　声　处　听　惊　雷
·万精油·

　　常常有这样的情形，当一件事情暂时说不清楚的时候，就会有人
说“时间会说明一切的”。这并不是说时间会说话。而是说过一段时
间以后，该发生的事情发生了，许多事情就清楚了。即使过了一段时
间什么事也没发生，仍然可以说明一些问题。因为“不该发生的事没
有发生”和“该发生的事发生了”是等价的。时间是时空的一维，时
间的流逝本身就使得与其相对应该的时空参照系发生了变化，许多问
题自然就有了不同的表现，并不一定需要再有别的什么东西来帮忙说
明问题。

　　时间的说服力是很强的。

　　从前有一个人想出家当和尚。老和尚说，来这里可以，但每天除
了吃饭睡觉就是打坐，每十年只能说一句话，你能做得到吗？他说，
行。于是就进庙当了和尚。十年后该他说话了，他说：“饭太少”。
又过了十年，他说：“床太小”。又过了十年，他说：“不干了”。
老和尚说：“不干就算了，反正你这几十年除了报怨也没干什么正经
事”。这笑话的力量就是这十年的时间，如果把十年改成一天，这笑
话就一点也不好笑了。好笑的不是他每次说了什么，而是他几十年没
有说什么。

　　上周看了新近出来的电影《ＣＯＮＴＡＣＴ》，讲人类努力与外
星人联系。这电影漏洞很多，但它是一部科幻片，我们也不能要求太
严。故事的结尾到是很耐人寻味。科学家们按照外星人传来的提示造
出了航天器。女主角乘着航天器到太空飞了一趟，并且与外星人对了
话。但是，当她再回到地球上时却发现没有人相信她确实到太空去了
一趟。她的航天旅行一共是十八个小时。但由于航天器以接近光速在
飞行，根据相对论原理，她所经过的十八小时只不过是地球上大约两
秒钟的时间，也就是地球上的人所观察到的航天器以自由落体速度穿
过加速器的时间。她在航行的过程中一直在录象，但由于某种原因，
什么也没录下来，磁带上全是背景电磁场所留下的嘈杂垃圾。她没有
任何证据。以至于在国会听证会上她不得不承认这一切有可能只是她
大脑里的幻觉。看来这个案子永远也没人能解释得清楚了。但是，听
证会的一个官员却注意到一个严酷的事实。录象带上虽然全是垃圾，
但这垃圾竟然长达十八小时之久，而不是大家所认为的两秒钟。正如
我开始所说，时间流逝的本身就有最强的说服力，并不一定需要再有
别的什么东西来帮忙说明问题。

　　讲这么大一堆，不外是为这次的题目做个引子，说明时间的力量。
这次的题目实际上也不能算什么题目，只不过是一种思想方法。有些
人也许会觉得简单，但对于以前没有以这种方式考虑过问题的读者来
说，还是比较有意义的。
【本期题目】
　　国王给甲乙二囚犯每人一个不同的正整数（为了故事情节，假定
这两个数都小于或等于四十八），并将二人分别关在两个牢房里，不
能交谈。让他们两想想谁的数更小。每过一小时派人来问他们一次，
看看他们有没有想出来。如果有人想出来了，两个人都立即释放。如
果答错了，或者是一天以后还没有想出来，则两人都要被砍头。我们
的问题是请你说明，如果这两个囚犯足够聪明的话，在只知道自己的
数而事前事中又没有任何交谈的情况下，仍然可以在一天内想出谁的
数更小。

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