数学的内容、方法和意义(转载)

数学的内容、方法和意义
　　——丘成桐（在北大百周年校庆学术报告会上的演讲）

今天要讲的是数学的内容、方法和意义，这原是苏联人写的一本书的书名，和今天
的演讲内容借过来作为演讲的名称。

今天是北大百周年校庆，五四运动便是北大学生发动的。作为演讲的引子，让我们
先简略地回顾一下“五四”前后中西文化之争。十九世纪中业以后，中国对西文科技的
认识，是“船竖炮利”，在屡次战争失利后，张之洞提出了“中学为体、西学为用”的
主张，即以传统儒家精神为主，加入西方的技术。到了五四运动前后便有了科玄论战。
以梁漱溟为主的一派以东方精神文明为上，捍卫儒学，以为西方文明强调用理性和知识
去征服自然，缺乏生命之道，人变成机械的奴隶；而中国文化自适自足，行其中道，必
能发扬光大。其时正值第一次世界大战结束，西方哲学家罗素等对西方物质文明深恶痛
绝，也主张向东方学习。另一派以胡适为首者则持相反意见，他们以为在知识领域内科
学万能，人生观由科学方法统驭，未经批判及逻辑研究的，皆不能成为知识。

科玄论战最终不了了之，并无定论。两派对近代基本科学皆无深究，也不收集数据
，理论无法严格推导，最后变得空泛。其实这便是中国传统文化之一特点。一方面极抽
象，有质而无量，儒道皆云天人合一，禅宗又云不立文字，直指心性。另一方面则极实
际，庄子说“蔽于天而不知人”。古代的科学讲求实用，一切为人服务，四大发明之一
指南针、造纸、印刷术、火药莫不如此。要知道西方技术之基础在科学，实际和抽象的
桥梁乃是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。

历代不少科学家对数学都有极高的评价。我们引一些物理学家的话作为例子。R.Fey
man在「物理定律的特性」一书中说我们所有的定律，每一条都由深奥的数学中的纯数学
来叙述，为什么？我一点也不知道。E.Wigner说数学在自然科学中有不合常理的威力。F
.Dyson说：在物理科学史历劫不变的一项因此,就是由数学想像力得来的关键贡献，基本
物理既然由高深的数学来表示。应用物理，流体等大自然界的一切现象，只要能得到成
熟的了解时，都可以用数学来描述。写过「湖滨散记」的哲人梭罗也说有关真理最明晰
，最美丽的陈述，最终必以数学形式展现。

其实数学家不只从自然界吸收养分，也从社会科学和工程中得到启示。人类心灵中
由现象界启示而呈现美的概论，只要能够用严谨逻辑来处理的都是数学家研究的对象。
数学和其他科学不同之处是容许抽象，只要是美丽的，就足以主宰一切，数学和文学不
同之处是一切命题都可以由公认的少数公理推出。数学正式成为系统性的科学始于古希
腊的欧机里德，他的「几何原本」是不朽名作。明末利玛窦和徐光启把它译成中文，并
指出“十三卷中五百余题，一脉贯通，卷与卷，题与题相结倚，一先不可后，一后不可
先，累累交承 渐次积累，终竟乃发奥微之义”。复杂深奥的定理都可以由少数简明的公
理推导，至此真与美得到确定的意义，水融，再难分开。值得指出，欧机里德式的
数学思维，直接影响了牛顿在物理上三大定律的想法，牛顿距著「自然哲学的数学原理
」与「几何原本」一脉相承。从爱因斯坦到现在的物理学家都希望完成统一场论，能用
同一种原理来解释宇宙间的一切力场。

数学的真与美，数学家的体会深刻。Sylvester说“它们揭露或阐明的概念世界，它
们导致的对至美与秩序的沉思，它各部分的和谐关联，都是人类眼中数学最坚实的根基
”。数学史家M.Kline说“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗”。当数学家吸收了
自然科学的精华，就用美和逻辑来引导，将想像力发挥的淋漓尽致，创造出连作者也惊
叹不已的命题。大数学家往往有宏伟的构思，由美作引导，例如Weil猜想促成了重整算
数机何的庞大计划，将拓扑和代数几何融入整数方程论中。由A.Grothendieck和P.Delig
ne完成的Weil猜想，可说是抽象方法的伟大胜利。回顾数学的历史，能够将几个不同的
重要观念自然融合而得出的结果，都成为数学发展的里程碑。爱因斯坦将时间和空间的
观念融合，成为近百年来物理学的基石；三年前A.Wiles对自守型式和Fermat最后定理的
研究，更是扣人心魄。数学家能够不依赖自然科学的启示得出来的成就，令人惊异，这
是因为数字和空间本身就是大自然的一部分，它们的结构也是宇宙结构的一部分。然而
，我们必须紧记，大自然的奥秘深不可测，不仅仅在数字和空间而已，它的完美无处不
在，数学家不能也不应该抗拒这种美。

本世纪物理学两个最主要的发现：相对论和量子力学对数学造成极大的冲击。广义
相对论使微分几何学“言之有物”，黎曼几何不再是抽象的纸上谈兵。量子场论从一开
始就让数学家迷惑不已，它在数学上作用仿如魔术。例如Dirac方程在几何上的应用使人
难以捉摸，然而它又这么强而有力地影响着几何的发展。超对称是最近二十年物理学家
发展出来的观念，无论在实验或理论上都颇为诡秘，但借着超弦理论的帮助，数学家竟
能解决了百多年来悬而未决的难题。超弦理论在数学上的真实性是无可置疑的，除非造
化弄人，它在物理上终会占一席位。

上世纪末数学公理化运动使数学的严格性坚如盘石，数学家便以为工具已备，以后
工作将无往而不利。本世纪初Hilbert便以为任何数学都能用一套完整的公理推导出所有
的命题。但好景不常，Godel在931年发表了著名的论文“「数学原理」中的形式上不可
断定的命题及有关系统I”。证明了包含着通常逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不能
确立的。这表示Hilbert的想法并非是全面的，也表示科学不可能是万能的。然而由自然
界产生的问题，我们还是相信Hilbert的想法是基本正确的。

数学家因其品禀各异，大致可分为下列三种：

(一)创造理论的数学家。这些数学家工作的模式，又可粗分为七类。

●从芸芸现象中窥见共性。从而提炼出一套理论，能系统地解释很多类似的问题。一个
明显的例子便是上世纪末Lie在观察到数学和物理中出现大量的对称后，便创造出有关微
分方程的连续变换群论。李群已成为现代数学的基本概念。

●把现存理论推广或移植到其它结构上。例如将微积分由有限维空间推广到无限维空间
，将微积分用到曲面而得到连络理论等便是。当Ricci,Christofel等几何学家在曲面上
研究与座标的选取无关的连络理论时，他们很难想像到它在数十年后的Yang-Mills场论
中的重要性。

●用比较方法寻求不同学科的共同处而发展新的成果。例如：Weil比较整数方程和代数
几何而发展算数几何：三十年前Langlands结合群表示论和自守形式而提出“Langlands
纲领”，将可以交换的领域理论推广到不可交换的领域去。

●为解释新的数学现象而发展理论。例如：Gauss发现了曲面的曲率是内蕴（即仅与其第
一基本形式有关）之后，Riemann便由此创造了以他为名的几何学，成就了近百年来的几
何的发展；H.Whitney发现了在纤维丛上示性类的不变性后，Pontryagin和陈省身便将之
推广到更一般的情况，陈示性类在今日已成为拓扑和代数几何中最基本的不变量。

●为解决重要问题而发展理论。例如J.Nash为解决一般黎曼流形等距嵌入欧氏空间而发
展的隐函数定理，日后自成学科，在微分方程中用处很大。而S.Smale用h-协边理论解决
了五维或以上的Poincare猜想后，此理论成为微分拓扑的最重要工具。

●新的定理证明后，需要建立更深入的理论。如Atiyah-Singer指标定理，Donaldson理
论等提出后，都有许多不同的证明。这些证明又引起重要的工作。

●在研究对象上赋予新的结构。Kahler在研究复流形时引入了后来以他为名的尺度；近
年Thurston在研究三维流形时，也引进了“几何化”的概念。一般而言，引进新的结构
使广泛的概念得到有意义的研究方向。有时结构之上还要再加限制，如Kahler流形上我
们要集中精神考虑Kahler-Einstein尺度，这样研究才富有成果。

（二）从现象中找寻规律的数学家。这些数学家或从事数据实验，或在自然和社会现象
中发掘值得研究的问题，凭着经验把其中精要抽出来，作有意义的猜测。如Gauss检视过
大量质数后，提出了质数在整数中分布的定律；Pascal和Fermat关于中赔率的书信
，为现代概率论奠下基石。五十年代期货市场刚刚兴起，Black和Scholes便提出了期权
定价的方程，随即广泛地应用于交易上。Scholes亦因此而于去年获得诺贝尔的经济学奖
。这类的例子还有很多，不胜枚举。

话说回来，要作有意义的猜测并非易事，必须对面对的现象有充分的了解。以红楼
梦为例，只要看了前面六七十回，就可以凭想像猜测后面大致如何。但如果我们对其中
的诗词不大了解，则不能明白它的真义。也无从得到有意义的猜测。

（三）解决难题的数学家。所有数学理论必须能导致某些重要问题的解决，否则这理论
便是空虚无价值的。理论的重要性必与其能解决问题的重要性成正比。一个数学难题的
重要性在于由它引出的理论是否丰富。单是一个漂亮的证明并不是数学的真谛，比如四
色问题是著名的难题，但它被解决后我们得益不多，反观一些难题则如中流砥柱，你必
须将它击破，然后才能登堂入室。比如一日不能解决Poincare猜测，一日就不能说我们
了解三维空间！我当年解决Calabi猜测，所遇到的情况也类似。

数学家要承先启后，解掉难题是“承先”，再进一步发展理论，找寻新的问题则是
“启后”。没有新的问题数学便会死去，故此“启后”是我们数学家共同的使命。我们
最终目标是用数学为基础，将整个自然科学，社会科学和工程学融合起来。

自从A Wiles在1994年解决了Fermat大定理后，很多人都问这有什么用。大家都觉得
Fermat大定理的证明是划时代的。它不仅解决了一个长达350年的问题，还使我们对有理
数域上的椭圆曲线有了极深的了解；它是融合两个数论的主流——自守式和椭圆曲线—
—而迸发出来的火花。值得一提的是，近十多年来椭圆曲线在编码理论中发展迅速，而
编码理论将会在电脑贸易中大派用场，其潜力无可估计。

最后我们谈谈物理学家和数学家的差异。总的来说，在物理学的范畴内并没有永恒
的真理，物理学家不断努力探索，希望能找出最后大统一的基本定律，从而达到征服大
自然的目的。而在数学的王国里，每一条定理都可以从公理系统中严格推导，故此它是
颠扑不破的真理。数学家以美作为主要评选标准，好的定理使我们从心灵中感受大自然
的真与美，达到“天地与我并生，万物与我为一”的悠然境界，跟物理学家要征服大自
然完全不一样。

物理学家为了捕捉真理，往往在思维上不断跳跃，虽说是不严格和容易犯错，但他
们欲能把自然现象看得更透更远，这是我们十分钦佩的。毕竟数学家要小心奕奕、步步
为营，花时间把所有可能的错误都去掉，故此这两种做法是互为表里，缺一不可的。

在传统文化中，我们说立德，但即从不讨论如何求真，不求真，则何以立德？我们
又说“温柔敦厚，诗教也”，但只是含糊的说美，数学兼讲真美，是中华民族需要的基
本科学。
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