首先介绍一下费马数(Fermat number):
形如 Fn=2^2^n+1的数,n>=0 . (F后面的n为下标,以下同)
前5个费马数是F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,均为素数。但
第6个F5=641*6700417,是个合数。到目前为止,我们只知道以上
的前五个费马数是素数。
高斯(1801)证明了:
仅当h=Fn1*Fn2...*Fns (其中0<=n1<n2<...<ns,s>=1),
并且Fnt (其中t=1,2,...,s)都是素数时,正h边形、(2^k)*h边形
以及2^k边形可用尺规作出。
为了叙述方便,我们下面称形如上面所说的h、(2^k)*h以及2^k形的数为
F_G数。
那么什么样的有理数度数能用尺规作出呢?
为避免误解,列出证明中所用到的显然的结论:
若角度A,B可作出,且m为任意自然数,则角度A-B,A+B,A*m都可以作出。
对于整度数的角有5个结论:
结论1:1度的角不能作出
证明:若能作出1度的角,也就是能作出正360边形,因为3^2|360,
所以360不是F_G数,与高斯的结论不符。
结论2:2度的角不能作出
证明:同上,因为3^2|180,所以180不是F_G数。
结论3:3度的角可以作出
证明:因为120=8*3*5是F_G数。
结论4:对于任意自然数n,3*n度的角都能作出(为方便,允许大于360度)
证明:只需用圆规在圆周上将3度的角弧截n次就形了。
结论5:若m不是3的倍数,则m度的角不能作出
证明:因为3是素数,所以m肯定与3互素,根据数论中的
斐蜀定理,存在整数x,y满足 x*m+y*3=1。
如果m度的角能够作出,则上面的这个等式意味着利用m度的弧和3度的弧
可以作出1度的角,矛盾!
对有理数度数的一般结果:
结论6:设N为F_G数,且N与3和5都互素,m为任意自然数,
则3*m/N 度的角可作出,并且只有此类型的有理数度数可作出
证明: 假设有理数m/n度的角可以作出,其中m与n互素。那么m=(m/n)*n度
的角必能作出,由结论5可知,m是3的倍数,设m=3*k,因为n与m互素,所以
n与k也互素,由斐蜀定理存在整数x,y满足:x*k+y*n=1,那么由结论4
3*y度的角(如果是负数则取绝对值)可以作出,因此
x*m/n+3*y=(3*k*x+3*y*n)/n=3/n
度的角也可以作出。那么正360/(3/n)=120*n边形可以作出,由高斯
的结论可知120*n是F_G数,而120=8*3*5,所以n是与3和5互素的F_G数。
反过来,若有理数形如3*m/N (如题设),显然120*N是F_G数,所以
可以作出正120*N边形,得到360/(120*N)=3/N度的角,对自然数m
当然可作出(3/N)*m度的角!
我们现在只剩下一个任务:什么样的费马数是素数?
尺规作图问题引人入胜,感兴趣可阅读更多文章。
古希腊三大名题
三等分任意角
http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html
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