错排问题的递推解决

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也谈“装错信封问题”

广东省江门一中 王 旭（ 529000 ）

颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文（见《数学通报》 2000 年第 6 期
p.35 ），给出了该经典问题的一个模型和求解公式：

编号为 1 ， 2 ，……， n 的 n
个元素排成一列，若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同，则称这个排列为 n
个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ，则

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

1. 一个简单的递推公式

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1
种方法。

第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1
号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k
号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ） k 号元素排在第 1
个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2)
种方法；（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k
个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1)
种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 （ 2 ）

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下面通过这个递推关系推导通项公式:
为方便起见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)
则N(1)=0,N(2)=1/2
n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
相加，可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
此外也可以用容斥原理证明:
正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种，其中第k位是k的排列有（n-1)!，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1)!种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个以上的数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个以上的数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k!
即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]
注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

另外：书上的错排公式为Dn=n!(1-1/2!+1/3!-.....+(-1)n/n!),此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以化简为１个优美的式子Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函数．
公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是就得到这个简单而优美的公式（此仅供参考）